Derivadas
Las derivadas de esta sección vienen referenciadas de la segunda nota técnica de MATPOWER [MAT1]
Regla de la cadena
Recordemos la regla de la cadena:
Dada la función \(f = x \cdot y\), las derivadas de \(f\) son:
\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} \cdot y + x \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = y\\\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} \cdot y + x \cdot \frac{\partial y}{\partial y} = x\end{aligned}\end{align} \]
Ahora, necesitamos generalizar esta regla para productos elemento-a-elemento entre vectores. Este tipo
de producto entre vectores de llama producto de Hadammard y en la notación de este documento lo hemos denominado igual
que el producto escalar. De esta forma podemos definir:
\[F = X \cdot Y = diag(X) \times Y = X \times diag(Y)\]
Entonces, las derivadas parciales de \(F\) son:
\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial X} = diag\left(\frac{\partial X}{\partial X} \right) \times Y + diag(X) \times \frac{\partial Y}{\partial X}\\\frac{\partial F}{\partial Y} = diag\left(\frac{\partial X}{\partial Y} \right) \times Y + diag(X) \times \frac{\partial Y}{\partial Y}\end{aligned}\end{align} \]
Conociendo esto podemos afrontar las derivadas de las funciones vectoriales que veremos a continuación.
Tensión
Data la tensión:
\[V = |V| \cdot e^{j \theta} = V_r + j \cdot V_i\]
Dónde \(|V|\) es el múdulo y \(\theta\) es el ángulo, podemos definir el vector unitario \(E\) como:
\[E = \frac{V}{|V|} = |V| \cdot (cos(\theta) + j \cdot sen(\theta) ) = e^{j \cdot \theta}\]
Dónde:
\[|V| = \sqrt{V_r^2 + V_i^2}\]
\[\theta = atan \left( \frac{V_i}{V_r} \right)\]
Entonces utilizando la regla de la cadena, sacamos las derivadas parciales de la tensión:
\[\frac{\partial V}{\partial |V|} = |V| \cdot \frac{\partial e^{j \cdot \theta}}{\partial |V|} + \frac{\partial |V|}{\partial |V|} \cdot e^{j \cdot \theta}= e^{j \cdot \theta} = E\]
\[\frac{\partial V}{\partial \theta} = |V| \cdot \frac{\partial e^{j \cdot \theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial |V|}{\partial \theta} \cdot e^{j \cdot \theta}= |V| \cdot j \cdot e^{j \cdot \theta} = j V\]
Potencia
\[S = V \cdot \left( Y \times V - I \right )^*\]
\[\frac{\partial S}{\partial \theta} = j \cdot V_{diag} \times (I_{bus,diag} - Y_{bus} \times V_{diag} )^*\]
\[\frac{\partial S}{\partial |V|} = j \cdot E_{diag} \times (I_{bus,diag} + Y_{bus} \times V_{diag} )^*\]
Flujo por las ramas
\[\frac{\partial S_{flow}}{\partial \theta} =j \cdot (I_{f,diag}^* \times C_f \times V_{diag}- [C_f \times V]_{diag} \times Y_f^* \times V_{diag}^* )\]
\[\frac{\partial S_{flow}}{\partial |V|} = I_{f,diag}^* \times C_f \times E_{diag}- [C_f \times V]_{diag} \times Y_f^* \times E_{diag}^*\]
Corriente
\[\frac{\partial I_{mag}}{\partial \theta} = j \cdot Y_f \times V_{diag}\]
\[\frac{\partial I_{mag}}{\partial |V|} = j \cdot Y_f \times E_{diag}\]
| Matriz |
Significado |
|---|
| \(V_{diag}\) |
Matriz diagonal con las tensiones complejas |
| \(I_{bus,diag}\) |
Matriz diagonal de inyecciones de corriente especificadas |
| \(Y_{bus}\) |
Matriz de admitancia |
| \(E_{diag}\) |
Matriz diagonal de tensiones unitarias |
| \(I_{f,diag}\) |
Matriz diagonal de las corrientes «from» theta través de las ramas |
| \(C_f\) |
Matriz de conectividad de las ramas con los nudos «from» |
| \(Y_f\) |
Matriz de admitancia de las ramas con los nudos «from» |
Cálculos complejos de las magnitudes
\[E=\frac{V}{|V|}\]
\[Y_f=C_f \times Y_{bus}\]
\[I_f=Y_f \times V\]
\[I_{inj} = Y_{bus} \times V + I_{bus}\]
\[S_{inj} = V \cdot I_{inj}^*\]
\[S_f = V_{diag} \times I_f^*\]
| Vector |
Significado |
|---|
| \(V\) |
Vector de tensiones complejo |
| \(E\) |
Vector de tensiones unitarias |
| \(I_f\) |
Vector de flujos de corriente desde los nudos «from» |
| \(Y_f\) |
Matriz de admitancia de las ramas con los nudos «from» |
| \(I_{bus}\) |
Vector de inyecciones de corriente nodales especificados |
| \(I_{inj}\) |
Vector de corrientes inyectadas totales |
| \(S_{inj}\) |
Vector de potencias nodales inyectadas totales |
| \(S_f\) |
Vector de flujos de corriente desde los nudos «from» |
| [MAT1] | AC Power Flows, Generalized OPF Costs and their Derivatives using Complex Matrix Notation. Ray D. Zimmerman. |